高等数学课程描述–从一门课看中外大学课程描述的差异

高等数学课程描述–从一门课来分析留学课程描述。一直总是在强调,同学们出国留学所递交海外大学的课程描述,一定要去贴近海外大学(海外大学课程描述标准架构)。如何贴近,如何去争取海外大学对所递交的课程描述的认可,其实真的是一门学问。今天我们就以高等数学课程描述为例,浅谈一下中国大学与国外大学在课程描述中的差异,从而能让同学在课描的制作过程中,更好的把握其写作的精髓,争取海外大学的认可。

高等数学课程描述算是最多同学制作的一门课了,绝大多数的专业,在第一大二都基本会接触这门课的学习,所以举高等数学为例最具有代表性。在中国大学,数学系一般是学习数学分析,非数学专业例如天文、物理等,一般会学习甲类高等数学,生物、化学、地理等则一般是乙类高等数学,个别文科专业例如哲学专业,则可能会学习丙类高等数学,其余的工程类专业,学习的高数基本可以归属为乙类难度。国内大学无论是从这门课的设置,以及老师在教授、同学在学习的过程中,秉着一种 “我们系需要什么数学时才学什么数学的态度”。就拿工程学科来举例,国内大学普遍认为工程学科的学生不需要那么多的数学理论,时间应该多多用于钻研工程领域的专门知识。这一做法也是源于苏联的模式:集中培养专业人才。

高等数学课程描述

在美国,国内的高等数学课一般叫做微积分课(或者说中国大学的高等数学是对美国大学微积分的翻译,另外加拿大、澳大利亚、欧洲等等国家同理,本文章只举美国为例,同学可自行替换),微积分的教学分成初级阶段和高级阶段。在初级阶段,学生学初等微积分;在高级阶段,则学高等微积分。在美国大学生学习微积分的初级阶段,不管是什么专业,只要是理工科的必修课或是其它系的选修课,所用的教材英文名字都是一个单词:Calculus,其中文翻译应该用两个单词:初等微积分。即便是数学系的同学,也只能先修初等微积分,而不是修等价于中国数学系一年级新生必修的《数学分析》的《高等微积分》(英文书名一般是Advanced Calculus)。从初等微积分起步,是美国的微积分教学的基本特点。当然,初等微积分也不是全美统一的教法。比如,普通大学商学院的初等微积分教材往往与众不同,常常冠以《商业微积分》(Business Calculus)的书名。它的内容甚至可能比一般的初等微积分还要浅,书也薄得多,一般只讲求函数导数、求定积分的基本方法。不过特点之一是侧重于应用,提供了许多与商业实践有关的章节和习题,让学生接触到具体实用的微积分应用范例。其它特殊的初等微积分还包括用于生命科学的微积分 (Calculus for the Life Sciences)和适合应用技术类学生的微积分 (Applied Technology Calculus)。这些教材带有相关专业的应用特点,概括起来是数学理论少,应用实例多。那么什么是初等微积分?这是不学“极限理论”或“ε – δ语言”的微积分。或更简单地说,它是牛顿和莱布尼茨所发明的微积分。它的内容等价于中国的《高等数学》,难度介乎于甲类和乙类之间,但比国内的教材包含了多得多的应用例子与习题。因为强调应用是美国数学教科书的一个特色。初等微积分包含了微积分的思想和计算方法,而不强调微积分的理论基础,即基于实数的完备性而逻辑推导出的极限理论。初等微积分学完以后,数学系的学生基本上已修了初等线性代数及初等微分方程。这时候,他们对微积分的概念比较清楚了,也对高等数学的其它学科有了一定的了解。《高等微积分》自然而然地放在了他们面前。正是因为高年级大学生和研究生都有高等微积分的需求,很多学校的数学系干脆将这门两学期的课程标记为大学生课和研究生课。例如,在南密西西比大学,高等微积分两学期的课程号码是441/541和442/542,其中441与442表示是大学生的课程,而541及542说明是研究生的课。因此,经常可以看到大学生和研究生包括博士研究生同堂上课。

欲速则不达。只有初等数学基础的学生,一下子要越过牛顿和莱布尼茨两百年,赶上柯西(Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)和魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass, 1815-1897)耗费多年精心打造的极限语言,还要费劲全力地搞懂戴德金(Julius Dedekind, 1831-1916)或康托尔(Georg Cantor, 1845-1918)成功的实数构造过程。这种训练,对于当今高等学校的大众教育,实质上是超前灌输。它不符合科学发现的艺术和数学文化的要义。数学的发展始终遵循数学文化的一个要旨:数学定理的诞生,往往起始于直觉,而完成于逻辑。牛顿、莱布尼茨的微积分就是最好的例子。当微积分的思想愈来愈成熟后,逻辑推理的神奇就会尽显风流,导致作为微积分大厦基础的实数理论和极限理论应运而生。如果在充分理解微积分思想和基本方法之前,就被动地接受微积分的逻辑基础,结果就会变成:“一年级学数学分析,大部分学不好,造成对今后学习信心不足。”

正因为“学习‘高档次’的数学理论,绝对必须从对‘低档次’数学的理解出发”,今天的密歇根州立大学数学系,“根本禁止在一、二年级初等微积分的课程里灌输学生这些 ε – δ 的抽象概念”。学生进入高年级甚至研究生阶段,才会和高等微积分相知相识,从容不迫地进入了分析数学的新天地。

如果我们再仔细检视微积分的教材,就会发现:微积分的思想概念处处出现在初等微积分中,而微积分的逻辑推理则处处出现在高等微积分中。对于初学者而言,先学会思想远比推导定理来得重要。先学了基于直觉的初等微积分,基于逻辑的高等微积分就不太那么令人生畏了。这对数学系学生的好处是:思想先行于逻辑,推理让位于直觉,慢慢走向严格化。对其它系学生的好处是:第一步雪里送炭,第二步锦上添花,领悟数学之美与深刻。

微积分是大学生最重要的一门数学课。由于数学发现的过程是直观性导致抽象性,在教学的实践中,微积分思想的传播比逻辑推理更重要。因此在高等数学课程描述的制作过程中,一定要注重基础概念的涵盖,同时要偏重于国外大学在高数这门课中的侧重,将这门高等数学课程描述做的尽量贴合和突出国外大学当初对其的设计精髓。